Research Information System
Tubitak-1001 Projesi, vol.123, no.236, pp.1-26, 2023 (Peer-Reviewed Journal)
Bağıl (göreceli) homolojik cebirin kökenini oluşturan öz sınıf (tam yapı veya saflık) yapısı, Prüfer'in, 1923 yılında, günümüzde değişmeli grup teorisinin en önemli kavramlarından biri olan saf alt grubunu tanıtmasıyla ortaya çıkmıştır. Herhangi bir Abel kategorisindeki kısa tam dizilerin "öz sınıfı" için aksiyomları ilk defa Buchsbaum tarafından verildi ve MacLane "Homoloji"sinde homolojik cebirin bir bölümünü bağıl homolojik cebir açısından yeniden yazdı.
İlk yıllarda, "mutlak" teoremlerin "göreceli" versiyonlarını kanıtlamak için kullanılan öz sınıfların birçok ilginç örneği bulundu. Böylece temsil teorisinde Lam ve Reifler göreceli Grothendieck grubunu inşa ettiler, Warfield, Prüfer'in saf alt grubunu genelleştirerek, modül kategorisinde, Cohn-saflığı kavramını tanıttı ve bunu cebirsel kompakt modüllerin sınıfını araştırmak için kullandı. Eilenberg ve Moore, öz sınıf yapısını genelleştirerek, Abel kategorilerinden daha genel kategorilerde bağıl homolojik cebirin geliştirilmesinin öncüsü oldular.
Halkaların sınıflandırma teorisi üzerine yapılan araştırmalarda, öz sınıflar önemli bir rol oynamışlardır. Özellikle Cohn-saf kısa tam dizilerin $\pure$ öz sınıfı, bir çok halkanın karakterize edilmesinde etkili olmuştur. Ayrıca, $\pure$ öz sınıfının homolojik nesnesi olan düz modüller tensör-çarpımı altında tamlığı koruduğundan, şemaları (schemes) ve ilişkili yığınları (sheaves) incelemek için cebirsel geometri ve komütatif cebirde önemlidir.
Toplamsal kategorilerde öz sınıflar sıklıkla funktorlar aracılığıyla oluşturulurlar.
Bu proje, modül kategorisinde, tensör-çarpım funktoru aracılığıyla düz-üretilen öz sınıfların ailesinin alternatif bir yöntem ile incelenmesi üzerinedir. Bu projede geliştirelecek olan tekniklerin ve çalışılacak problemlerin, modül ve halka teorisi başta olmak üzere, homolojik cebir ve kafes kuramında belirgin etkileri olacaktır.